Méthodes d'ajustement linéaire

Graphique avec tendance

1. Méthode des points extrêmes

La méthode consiste à calculer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par le premier point et le dernier point d'une série de coordonnées (x, y).

Elle s'applique de préférence lorsque l'on constate que la variable, par exemple le nb de commande, augmente ou diminue de façon très régulière en fonction de l'autre variable, par exemple, le temps.

C'est la méthode la plus simple à utiliser.

Année 1 2 3 4 5 6
Data 12 18 30 51 66 75

Le premier point de la série a pour coordonnées (1 ; 12) et le dernier a pour coordonnées (6 ; 75).

Nous allons donc pouvoir calculer l'équation de la droite passant par ces deux points.

Cette équation a pour forme y = ax + b ; en remplaçant y et x par les coordonnées des deux points, on obtient donc :

(1) : 75 = a * 6 + b

(2) : 12 = a * 1 + b

 

Pour calculer "a", il suffit de soustraire (2) à (1).

75 - 12 = 6a - a

63 = 5a

a = 12.6

 

Puis on injecte "a" dans l'équation (2) pour obtenir "b".

12 = 12.6 * 1 + b

b = 12 - 12.6 = -0.6

 

On obtient ainsi l'équation de la droite : y = 12.6 * x - 0.6

 

La prévision pour l'année 7 sera donc :

y = 12.6 * 7 - 0.6 = 88.2 - 0.6 = 87.6

 

La prévision pour l'année 7 sera de : 87.6

2. Méthode de Mayer

La méthode de Mayer consiste à découper la série de données en deux sous-séries, ce qui permet de tenir compte de tous les points de la série.

On calcule ensuite le point moyen de chaque sous-série avant de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par ces deux points moyens.

Si la série comporte un nombre de points impairs, il est préférable de prendre un point de plus dans la deuxième sous-série pour augmenter son poids relatif, car elle est plus récente, donc plus représentative.

Prenons les données suivantes :

Année 1 2 3 4
Data 89 97 108 120

On décompose la série en deux sous-séries

Groupe 1 Groupe 2
Année Xi Yi Année Xi Yi
N 1 89 N+2 3 108
N+1 2 97 N+3 4 120
Moyenne 1.5 93 Moyenne 3.5 114

À partir des moyennes de deux séries, on peut déterminer deux "points moyens" (un pour chaque série) par lesquels va passer une droite qu'on appelle la droite de Mayer.

Cette droite a pour équation y = a * x + b et passe par ces deux points. On peut donc écrire :

(1) : 114 = 3.5 * a + b

(2) : 93 = 1.5 * a + b

 

En soustrayant l'équation (1) à l'équation (2), comme on l'a fait pour la droite passant par les points extrèmes, on obtient :

(2)-(1) : 2a = 21

a = 10.5

et

b = 93 -(1.5 * 10.5) = 77.25

 

D'où l'équation : y = 10.5 * x + 77.25

 

Donc pour l'année N+4, on aura : x = 5

 

Il en résulte une prévision de : 10.5 * 5 + 77.25 = 129.75

3. Méthode des moindres carrés

La méthode des moindres carrés permet de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe le plus près possible de l'ensemble des points de la série étudiée.

C'est la méthode la plus précise.

Elle est le mieux appropriée lorsque les points sont peu alignés mais qu'une tendance se dégage.

Cette droite a pour équation y = ax + b

Le coefficient directeur "a" de la droite, se calcule de la façon suivante :
a =
Σ (xi - x)(yi - y) / Σ (xi - x)2
La constante "b" (qui est l'ordonnée à l'origine) se calcule grâce à l'équation :

y = a * x + b

4. Correction de la tendance

4.1 Modèle à double lissage exponentiel (modèle de HOLT).

À utiliser lorsqu'on a un historique de valeurs avec tendance et pas de saisonnalité.

Lorsque le niveau moyen de la demande change (croissance ou décroissance), le système de prévision simple est toujours en retard (puisqu'il se fonde sur les demandes passées).

D'où la nécessité d'effectuer une correction de tendance.

1. Tendance instantanée :
Tt = P t – Pt-1
2. Lissage de la tendance :
Tt+1 = β.(Pt+1 – Pt) + (1- β)Tt

Avec Pt+1 et Pt les prévisions successives
Tt la précédente tendance lissée
et β le coefficient de lissage de la tendance

3. On corrige la prévision :
P't+1 = Pt+1 + (1 + 𝛼) * Tt+1

Avec Pt+1 la prévision faites avec une des méthodes pré-citées.
Tt+1 la tendance lissée
et 𝛼 le coefficient de lissage de la prévision

Le modèle de HOLT permet donc une prévision linéaire sous forme de fonction affine. Ainsi pour un horizon h la prévision pour la période t sera :

ŷt(h) = at * h + bt

Avec a = la pente
et b = le niveau

Calcul du niveau

C'est une moyenne pondérée entre deux estimations de constantes au moment où l'on établit la prévision. La première estimation est faite à partir de la dernière demande et la deuxième à partir de la dernière prévision.

Le premier paramètre 𝛼 à choisir (compris entre 0 et 1) est donc celui qui va pondérer ces deux niveaux.

bt= 𝛼 yt + (1 - 𝛼) (bt-1 + at-1)

Calcul de la pente

La pente est également une moyenne pondérée entre deux estimations.

ON va déterminer un coefficient β (compris entre 0 et 1) et on l'applique à la dernière estimation de pente observée, c'est-à-dire à la différence des deux niveaux en t et t-1.

Puis on applique la pondération (1 - β) à l'estimation de pente précédente.

at = β (bt - bt-1) + (1 - β) at-1

Comment choisir les coefficients de lissage ?

Les coefficients de lissage permettent de donner plus ou moins d'importance aux dernières valeurs par rapport à l'ensemble de la série.

Ainsi, si le coefficient est grand, on s'adapate plus vite au changement de niveau.

Donc en pratique, le coefficient sera plus proche de 1 lorsque les fluctuations seront fortes, et proche de 0 lorsque la consommation sera stable.

4.2 Lissage exponentiel de Winters.

À utiliser lorsqu'on a un historique de valeurs avec tendance et une saisonnalité.

Combinaison de deux corrections :

Dans ce cas, la méthodologie est la suivante :

Soit Dd la demande désaisonnalisée, Dt la demande sur la période t et It l'indice de saisonnalité correspondant à la période.

1. Demande désaisonnalisée :
Ddt =
Dt / It
avec
It =
Dt-1 / Demande moyenne par période
2. Prévision sur demande désaisonnalisée :
Pdt+1 = α.Ddt + (1- α)Pdt
3. Resaisonnalisation de la prévision :
Pt+1 = Pdt+1 * It+1

Ce qu'il faut retenir...

  • La prévision est la base de la plupart des décisions de gestion.
  • Une prévision parfaite n'existe pas même si cela reste un objectif.
  • La flexibilité du système peut compenser les erreurs de prévisions.
  • Bien souvent, les modèles simples donnent des résultats satisfaisants.
  • Il faut suivre la précision du modèle de prévision.