Méthodes d'ajustement linéaire
Méthode des points extrêmes
La méthode consiste à calculer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par le premier point et le dernier point d'une série de coordonnées (x, y).
Elle s'applique de préférence lorsque l'on constate que la variable, par exemple le nb de commande, augmente ou diminue de façon très régulière en fonction de l'autre variable, par exemple, le temps.
C'est la méthode la plus simple à utiliser.
| Année | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur | 12 | 18 | 30 | 51 | 66 | 75 |
Le premier point de la série a pour coordonnées (1 ; 12) et le dernier a pour coordonnées (6 ; 75).
Nous allons donc pouvoir calculer l'équation de la droite passant par ces deux points.
Cette équation a pour forme y = ax + b ; en remplaçant y et x par les coordonnées des deux points, on obtient donc :
(1) : 75 = a * 6 + b
(2) : 12 = a * 1 + b
Pour calculer "a", il suffit de soustraire (2) à (1).
75 - 12 = 6a - a
63 = 5a
a = 12.6
Puis on injecte "a" dans l'équation (2) pour obtenir "b".
12 = 12.6 * 1 + b
b = 12 - 12.6 = -0.6
On obtient ainsi l'équation de la droite : y = 12.6 * x - 0.6
La prévision pour l'année 7 sera donc :
y = 12.6 * 7 - 0.6 = 88.2 - 0.6 = 87.6
La prévision pour l'année 7 sera de : 87.6
Méthode de Mayer
La méthode de Mayer consiste à découper la série de données en deux sous-séries, ce qui permet de tenir compte de tous les points de la série.
On calcule ensuite le point moyen de chaque sous-série avant de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par ces deux points moyens.
Si la série comporte un nombre de points impairs, il est préférable de prendre un point de plus dans la deuxième sous-série pour augmenter son poids relatif, car elle est plus récente, donc plus représentative.
Prenons les données suivantes :
| Année | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Valeur | 89 | 97 | 108 | 120 |
On décompose la série en deux sous-séries
| Groupe 1 | Groupe 2 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Année | Xi | Yi | Année | Xi | Yi |
| N | 1 | 89 | N+2 | 3 | 108 |
| N+1 | 2 | 97 | N+3 | 4 | 120 |
| Moyenne | 1.5 | 93 | Moyenne | 3.5 | 114 |
À partir des moyennes de deux séries, on peut déterminer deux "points moyens" (un pour chaque série) par lesquels va passer une droite qu'on appelle la droite de Mayer.
Cette droite a pour équation y = a * x + b et passe par ces deux points. On peut donc écrire :
(1) : 114 = 3.5 * a + b
(2) : 93 = 1.5 * a + b
En soustrayant l'équation (1) à l'équation (2), comme on l'a fait pour la droite passant par les points extrèmes, on obtient :
(1)-(2) : 2a = 21
a = 10.5
et
b = 93 -(1.5 * 10.5) = 77.25
D'où l'équation : y = 10.5 * x + 77.25
Donc pour l'année N+4, on aura : x = 5
Il en résulte une prévision de : 10.5 * 5 + 77.25 = 129.75
Méthode des moindres carrés
La méthode des moindres carrés permet de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe le plus près possible de l'ensemble des points de la série étudiée.
C'est la méthode la plus précise.
Elle est le mieux appropriée lorsque les points sont peu alignés mais qu'une tendance se dégage.
Cette droite a pour équation y = ax + b
Calcul de "a"
Le coefficient directeur "a" de la droite, se calcule de la façon suivante :
Calcul de "b"
y = a * x + b
Autre manière d'écrire cette équation :
Avec n le nombre de valeurs.
Calcul de "a" en fonction des moyennes x et y
On sait que :
et
En substituant dans la formule on aura :
a =On peut factoriser n au numérateur et au dénominateur :
a=Puis on simplifie par n :
Avantage : cette version est souvent plus pratique quand tu as déjà les sommes Σxiyi et Σxi2, en plus de x et y, sans forcément recalculer tous les écarts.
Exercice d'application
| x | y | xy | x² | y² | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 22 | 18 | 396 | 484 | 324 |
| 2 | 22 | 19 | 418 | 484 | 361 |
| 3 | 23 | 20 | 460 | 529 | 400 |
| 4 | 26 | 18 | 468 | 676 | 324 |
| 5 | 31 | 23 | 713 | 961 | 529 |
| 6 | 32 | 24 | 768 | 1024 | 576 |
| 7 | 34 | 22 | 748 | 1156 | 484 |
| 8 | 37 | 25 | 925 | 1369 | 625 |
| 9 | 41 | 29 | 1189 | 1681 | 841 |
| 10 | 42 | 27 | 1134 | 1764 | 729 |
| Somme | 310 | 225 | 7219 | 10128 | 5193 |
En remplaçant les valeurs dans la formule on obtient :
On calcule également la moyenne des x et la moyenne des y :
Pour trouver : b = y - a * x
Par conséquent, l'équation de la droite des moindres carrés sera : y = 0.471x + 7.898