Lissages exponentiels

1. Les différents lissages exponentiels

Introduction

Les méthodes de lissage exponentiel sont des méthodes de prévision à court terme. Elles supposent que le phénomène étudié ne dépend que de ses valeurs passées.

Ce sont des méthodes d'extrapolation qui donnent un poids prépondérant aux valeurs récentes : les coefficients de pondération décroissent exponentiellement en remontant dans le temps.;

Chacune des méthodes dépend d'un ou plusieurs paramètres (paramètres de lissage) compris entre 0 et 1.

Le poids de chacune des valeurs passées se calcule à partir de ces paramètres.

Historique

Les méthodes de prévision se sont développées au cours de la seconde moitié du XXe siècle.

La méthode de lissage exponentiel simple a été introduite par Brown en 1962.

Elle a ensuite été généralisée par Holt et Winters.

Ces méthodes sont largement diffusées et utilisées. Leur succès est dû à la fois à leur simplicité et à la qualité des prévisions obtenues.

Les différentes méthodes

Saisonnalité
Tendance
NON OUI
NON Lissage Exponentiel simple Méthode de WINTERS
OUI Méthode de HOLT Méthode de WINTERS

Le lissage exponentiel simple dépend d'un seul paramètre de lissage.

Le lissage de Holt dépend de deux paramètres : l'un relatif au niveau, l'autre à la tendance.

Le lissage de Winters dépend de trois paramètres : l'un relatif au niveau, un autre relatif à la tendance, et le dernier à la saisonnalité.

Autres méthodes :

D'autres méthodes de prévision reposant sur des hypothèses probabilistes ont été développées depuis les années 1970.

Elles reposent sur une première approche due à Box et Jenkins, qui a fait ensuite l'objet de nombreuses extensions utilisées notamment dans des modèles complexes de finance.

2. Lissage exponentiel simple

La technique du lissage exponentiel est similaire à la moyenne mobile mais requiert moins de données et est plus facile à calculer.

  1. Prendre l'ancienne prévision et la demande pour la dernière période.
  2. Assigner un facteur de pondération (ou constante de lissage α, alpha) à la dernière demande par rapport à la prévision.
  3. Calculer la moyenne pondérée des prévisions et de la dernière demande.

Prévisiont = α * Demandet-1 + (1‐ α) * Prévisiont‐1

Démonstration mathématique :

Pt+1 = α Dt + (1‐ α) Pt

Pt+1 = α Dt + (1‐ α) [ α * Dt-1 + (1‐ α) Pt‐1 ]

Pt+1 = α Dt + α(1‐ α) Dt-1 + (1‐ α)² Pt‐1

Pt+1 = α Dt + α(1‐ α) Dt-1 + (1‐ α)² [ α Dt-2 + (1‐ α) Pt‐2 ]

Pt+1 = α Dt + α(1‐ α) Dt-1 + α (1‐ α)² Dt-2 + (1‐ α)3 Pt‐2

Pt+1 = α Dt + α(1‐ α) Dt-1 + α (1‐ α)² Dt-2 + (1‐ α)3 [ α Dt-3 + (1‐ α) Pt‐3 ]

Pt+1 = α Dt + α(1‐ α) Dt-1 + α (1‐ α)² Dt-2 + α (1‐ α)3 Dt-3 + ... + α (1‐ α)t-1 D1 + (1‐ α)t D0

Cette présentation permet de comprendre pourquoi on appelle ce lissage EXPONENTIEL (décroissance exponentielle des pondérations en remontant dans le temps).

En choisissant α = 0,2, la dernière demande connue est donc pondérée à 20 %, la précédente à 0,2 × 0,8 = 16 %, celle d’avant à 12,8 % et ainsi de suite jusqu’au début de la série.

Autre formulation :

Pt = α * et + Pt‐1

Avec et = erreur de prévision = Dt-1 - Pt-1

Remarque :

Le choix de α requiert une analyse du modèle de la demande et du jugement.

En pratique le coefficient sera plus proche de 1 lors de fortes fluctuations, et proche de 0 lors de consommations stables.

Un grand α dans cette technique a un effet comparable à un faible nombre d'observations incluses dans une moyenne mobile, et inversement.

Le succès de cette méthode réside dans le fait qu'il ne requiert que peu de données et la vérification du comportement du modèle est facilement testable.

Exemple :

Si α=0,8 cela donnera plus de poids à la dernière demande (1-0,8=0,2), ce qui sera approprié si on a une tendance à la hausse ou à la baisse.

A - Prévision exponentielle lissée pour mars :

Février : demande effective = 110; prévision = 100; 𝛼 = 0.8 Prévision mars = 0.8 * 110 + 0.2 * 100 = 88 + 20 = 108

B - Prévision exponentielle lissée pour avril :

Mars : demande effective = 120 Prévision avril = 0.8 * 120 + 0.2 * 108 = 96 + 21.6 = 117.6

Limites du modèle

  • Cette technique de prévision ne peut être appliquée qu'à un horizon t + 1.
  • Elle n'est pas appropriée s'il y a une tendance, une saisonnalité ou un cycle.
  • Il n'y a pas de règle pour le choix de la valeur de 𝛼.

Cette technique est très utilisée en gestion de stocks quand il existe un très grand nombre de références.

En revanche, en prévision de la demande, on lui préfère le lissage exponentiel double, et surtout le lissage de Holt et le lissage de Winters.

Elle est plus réactive que les moyennes mobiles ou les modèles utilisant la régression car elle prend rapidement en compte une modification de tendance.

Prévision initiale

En raison de la formule récurrente du lissage exponentiel simple, on est obligé de CHOISIR une valeur à partir de laquelle les prévisions seront effectuées.

Cette valeur a peu d’importance si la série est longue. On prend souvent la moyenne des deux ou trois premières observations mais ce choix reste arbitraire.

Les logiciels non spécialisés en prévision, comme par exemple l'utilitaire d'analyse d'Excel, utilisent la première valeur.

3. Lissage exponentiel double (modèle de HOLT)

À utiliser lorsqu'on a un historique de valeurs avec tendance et pas de saisonnalité.

Le lissage exponentiel double permet de réaliser des prévisions à plus de t + 1.

Il est important de noter que le moindre écart est pris en compte et il est amplifié à chaque recul de l'horizon de prévision.

Le lissage exponentiel double n'est donc valable que dans un contexte de court terme.

Lorsque le niveau moyen de la demande change (croissance ou décroissance), le système de prévision simple est toujours en retard (puisqu'il se fonde sur les demandes passées).

D'où la nécessité d'effectuer une correction sur le niveau et sur la tendance.

Si le niveau et la tendance estimés au temps t-1 sont respectivement Lt‑1 et Tt-1, alors la prévision pour Pt qui aurait été faite au temps t-1 est égale à :

Pt = Lt-1 + Tt-1

3.1- Calcul du niveau

Lorsque la valeur réelle est observée, l'estimation mise à jour du niveau est calculée de manière récursive par interpolation entre la demande et sa prévision.

C'est une moyenne pondérée entre deux estimations de constantes au moment où l'on établit la prévision.

On va déterminer un coefficient 𝛼 (compris entre 0 et 1) et on l'applique à la dernière demande Dt et ensuite on applique la pondération (1-𝛼) à la dernière prévision Pt :

Niveau lissé :
Lt = 𝛼 Dt + (1-𝛼) Pt

Avec

Lt le niveau lissé
Dt la demande réelle
Pt la prévision lissée
et 𝛼 le coefficient de lissage du niveau de la série

3.2- Calcul de la tendance

La tendance est également une moyenne pondérée entre deux estimations.

On va déterminer un coefficient β (compris entre 0 et 1) et on l'applique à la dernière estimation de tendance observée, c'est-à-dire à la différence des deux niveaux en t et t-1.

Puis on applique la pondération (1 - β) à l'estimation de tendance précédente.

Tendance lissée :
Tt = β (Lt – Lt-1) + (1- β)Tt-1

Avec

Lt et Lt-1 les niveaux lissées
Tt-1 la précédente tendance lissée
et β le coefficient de lissage de la tendance

3.3 Prévision lissée

Le modèle de HOLT permet donc une prévision linéaire sous forme de fonction affine.

Les dernières données étant les plus importantes, conformément au principe du lissage exponentiel, les prévisions pour le futur proche qui sont faites à partir du temps t sont obtenues par extrapolation du niveau et de la tendance actualisés :

On corrige la prévision :
Pt+k = Lt + k Tt

Avec

Lt le niveau lissé
Tt la tendance lissée
et k = horizon de la prévision calculée à l'instant t

3.4- Comment choisir les coefficients de lissage ?

Les coefficients de lissage permettent de donner plus ou moins d'importance aux dernières valeurs par rapport à l'ensemble de la série.

Ainsi, si le coefficient est grand, on s'adapate plus vite au changement de niveau.

Donc en pratique, le coefficient sera plus proche de 1 lorsque les fluctuations seront fortes, et proche de 0 lorsque la consommation sera stable.

4. Lissage exponentiel triple (modèle de WINTERS)

À utiliser lorsqu'on a un historique de valeurs avec tendance et une saisonnalité.

La logique du modèle LES de Holt peut être étendue pour estimer de manière récursive les indices saisonniers variant dans le temps ainsi que le niveau et la tendance.

3.1- Cas d'une série à tendance additive

On suppose que la série Dt peut s'écrire comme la somme d'un niveau Lt, d'une tendance Tt et d'un facteur saisonnier St.

Les coefficients de lissage sont α, β et γ, compris entre 0 et 1.

3.1.1- Calcul du niveau

Niveau lissé :
Lt = 𝛼 (Dt - St-s) + (1-𝛼) (Lt-1 + Tt-1)
(Dt - St-s) représente la valeur désaisonnalisée de Dt.
Lt-1 + Tt-1 représente la prévision de Lt faite à la période t-1.

3.1.2- Calcul de la tendance

Tendance lissée :
Tt = β (Lt – Lt-1) + (1- β)Tt-1

Avec

Lt et Lt-1 les niveaux lissées
Tt-1 la précédente tendance lissée
et β le coefficient de lissage de la tendance

Lt – Lt-1 représente le changement de niveau juste observé.
Tt-1 représente une estimation de la tendance précédente.

3.1.3- Calcul de la saisonnalité

Saisonnalité lissée :
St = γ (Dt - Lt) + (1-γ) St-s
Dt - Lt représente le "différence à la moyenne mobile" de la donnée actuelle.
St-s représente la dernière estimation de l'indice saisonnier pour la même saison.

3.1.4- Calcul de la prévision lissée

On corrige la prévision :
Pt+h = Lt + h Tt + St-s+h

Avec

Lt le niveau lissé
Tt la tendance lissée
et h = horizon de la prévision calculée à l'instant t

Lt + h Tt représente l'extrapolation du niveau et de la tendance à partir de la période t.
St-s+h représente une estimation la plus récente de l'indice saisonnier pour la période h dans le futur.

3.2- Cas d'une série à tendance multiplicative

On suppose que la série Dt peut s'écrire comme le produit d'un niveau Lt, d'une tendance Tt et d'un facteur saisonnier St.

Les paramètres de lissage sont α, β et γ, compris entre 0 et 1.

3.2.1- Calcul du niveau

Niveau lissé :
Lt = 𝛼
Dt / St-s
+ (1-𝛼) (Lt-1 + Tt-1)
Dt / St-s
représente la valeur désaisonnalisée de Dt.
Lt-1 * Tt-1 représente la prévision de Lt faite à la période t-1.

3.2.2- Calcul de la tendance

Tendance lissée :
Tt = β (Lt – Lt-1) + (1- β) Tt-1

Avec

Lt et Lt-1 les niveaux lissées
Tt-1 la précédente tendance lissée
et β le coefficient de lissage de la tendance

Lt / Lt-1
représente le changement de niveau juste observé.
Tt-1 représente une estimation de la tendance précédente.

3.2.3- Calcul de la saisonnalité

Saisonnalité lissée :
St = γ
Dt / Lt
+ (1-γ) St-s
Dt / Lt
représente le "rapport à la moyenne mobile" de la donnée actuelle.
St-s représente la dernière estimation de l'indice saisonnier pour la même saison.

3.2.4- Calcul de la prévision lissée

On corrige la prévision :
Pt+h = (Lt + h Tt) * St-s+h

Avec

Lt le niveau lissé
Tt la tendance lissée
et h = horizon de la prévision calculée à l'instant t

Lt + k Tt représente l'extrapolation du niveau et de la tendance à partir de la période t.
St-s+k représente une estimation la plus récente de l'indice saisonnier pour la kième période dans le futur.

3.5- Choix des valeurs initiales

Il existe plusieurs méthodes pour choisir ces valeurs initiales, par exemple :

Ces méthodes ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients, et il n'existe pas de règle universelle pour choisir les meilleures valeurs initiales.

Il faut donc tester différentes possibilités et comparer les performances des prévisions obtenues avec la méthode de Holt-Winters.

Voici un exemple de choix pour des données annuelles sur n années

Pente :
D0 =
mn - m1 / (n-1) P

mn = moyenne sur l'année n
n = le nombre d'années
P = le nombre de période

Niveau :
= m1 -
P / 2
* pente

Combinaison de deux corrections :

Dans ce cas, la méthodologie est la suivante :

Soit Dd la demande désaisonnalisée, Dt la demande sur la période t et It l'indice de saisonnalité correspondant à la période.

1. Demande désaisonnalisée :
Ddt =
Dt / It
avec
It =
Dt-1 / Demande moyenne par période
2. Prévision sur demande désaisonnalisée :
Pdt+1 = α.Ddt + (1- α)Pdt
3. Resaisonnalisation de la prévision :
Pt+1 = Pdt+1 * It+1

5. Lissage exponentiel triple (modèle de BROWN)

En considérant le demande D, le modèle de Brown est obtenu en définissant les données initiales des deux séries lissées égales à la demande initiale :

S'0 = S"0 = D0

Avec

S' = la série lissée obtenue en appliquant un lissage exponentiel simple à la série D. C'est-à-dire que la valeur de S' à la période t est donnée par :

S't = α Dt + (1-α) S't-1

S" = la série doublement lissée obtenue en appliquant un lissage exponentiel simple (utilisant le même α ) à la série S' :

S"t = α S't + (1-α) S"t-1

La prévision Pt+k, pour tout k>1, est donnée par :

Pt = Lt + k Tt

Avec

Lt = 2 S't - S"t

Le niveau estimé (la valeur lissée) à la période t pour t>1.

Tt =
α / (1-α)
(S't - S"t)

L'estimation de la tendance T à la période t.

Ce qu'il faut retenir...

  • La prévision est la base de la plupart des décisions de gestion.
  • Une prévision parfaite n'existe pas même si cela reste un objectif.
  • La flexibilité du système peut compenser les erreurs de prévisions.
  • Bien souvent, les modèles simples donnent des résultats satisfaisants.
  • Il faut suivre la précision du modèle de prévision.